精石传说飞舞游戏《一剑倾城》炼器强化再升级

У математиц? геометричне перетворення - це будь-яка б??кц?я множини до себе (або до ?ншо? тако? множини) з деякою пом?тною геометричною основою. Б?льш конкретно, це функц?я, домен ? д?апазон яко? ? наборами точок - найчаст?ше обома $\mathbb {R} ^{2}$ або обидва $\mathbb {R} ^{3}$ - така, що функц?я ? ?н'?ктивною, щоб ?снувала ?? обернена. До вивчення геометр?? можна п?дходити шляхом вивчення цих перетворень.

Геометричн? перетворення можна класиф?кувати за розм?рн?стю ?х набор?в операнд?в (таким чином розр?зняючи, скаж?мо, площинн? перетворення та просторов? перетворення). ?х також можна класиф?кувати за властивостями, як? вони збер?гають:

• Перем?щення збер?гають в?дстань та кути (наприклад, паралельне перенесення);
• ?зометр?? збер?гають кути та в?дстан? (наприклад, перетворення Евкл?да);
• Под?бн?сть збер?гають кути та сп?вв?дношення м?ж в?дстанями (наприклад, зм?на розм?ру);
• Аф?нн? перетворення збер?гають паралельн?сть (наприклад, масштабування, зсув );
• Проективн? перетворення (трансформац??) збер?гають кол?неарн?сть ;

Кожен ?з цих клас?в м?стить попередн?й.

• Перетворення Меб?уса ?з використанням складних координат на площин? (як ? ?нверс?я кола) збер?гають безл?ч ус?х прямих ? к?л, але можуть м?няти м?сцями л?н?? та кола.

• 
  Ориг?нальне зображення (на основ? карти Франц??)
• 
  ?зометр?я
• 
  Под?бн?сть
• 
  Аф?нне перетворення
• 
  Проективна трансформац?я
• 
  ?нверс?я

• Дифеоморф?зми (bidifferentiable перетворення) ? перетворенням, як аф?нн? в першому порядку; вони м?стять попередн? як особлив? випадки ? можуть бути додатково уточнен?.
• Конформн? перетворення збер?гають кути ? ?, у першому порядку, под?бн?стю.
• Екв?ар?альн? перетворення, збереження площ у площинному випадку або об’?м?в у тривим?рному випадку. ? ?, у першому порядку, аф?нними перетвореннями детерм?нанти 1.
• Гомеоморф?зми (двосторонн? перетворення) збер?гають околиц? точок.

• 
  Конформне перетворення
• 
  Екв?ар?альна трансформац?я
• 
  Дифеоморф?зм
• 
  Гомеоморф?зм

Перетворення одного типу утворюють групи, як? можуть бути п?дгрупами ?нших груп перетворень.

Протилежн? групов? д??

Багато геометричних перетворень виражаються за допомогою л?н?йно? алгебри. Б??ктивн? л?н?йн? перетворення (б??кц?я) - це елементи загально? л?н?йно? групи. Л?н?йне перетворення A не ? особливим. Для вектора рядк?в v матричний добуток vA да? ?нший вектор рядка w = vA.

Транспонування вектора рядка v ? вектором стовпця v ^T, а транзакц?я вищевказано? р?вност? - $w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.$ Тут A ^T забезпечу? л?ву д?ю на вектори стовпц?в.

У геометр?? перетворень ? композиц?? AB. Починаючи з вектора рядка v, правильною д??ю складеного перетворення ? w = vAB. П?сля транспонування

$w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.$

Таким чином, для AB пов'язана д?я л?во? групи ? $B^{T}A^{T}.$ При вивченн? протилежних груп розр?зняють д?? протилежних груп, оск?льки ?диними групами, для яких ц? протилежност? р?вн?, ? комутативн? групи.

Прим?тки

• Ерлангенська програма
• Роздум
• Ортогональне перетворення
• Обертання
• Тополог?я
• Матриця перетворення

Для ознайомлення

• Гельфанд ?. М. Лекц?? з л?н?йно? алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теор?я матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Погор?лов О. В. Геометр?я : Стереометр?я : П?друч. для 10—11 кл. серед. шк. — 6-те вид. — Ки?в : Осв?та, 2001. — 128 с.
• Adler, Irving (2012) [1966], A New Look at Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-49851-5
• Д??нес, З.П. ; Golding, EW (1967). Геометр?я через трансформац?? (3 т. ): Геометр?я спотворень, Геометр?я конгруентност? та Групи та координати. Нью-Йорк: Гердер ? Гердер.
• Дев?д Ганс - Трансформац?? та геометр??.
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (вид. 2nd). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9.
• Джон Маккл?р? - Геометр?я з диференц?йовано? точки зору.
• Мод?нов, П.С.; Пархоменко, А.С. (1965). Геометричн? перетворення (2 т. ): Евкл?дов? та аф?нн? перетворення та проективн? перетворення. Нью-Йорк: Академ?чна преса.
• А. Н. Пресл? - Елементарна диференц?альна геометр?я.
• Яглом, ?.М. (1962, 1968, 1973, 2009). Геометричн? перетворення (4 т. ). Випадковий будинок (I, II та III), MAA (I, II, III та IV).